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続続アキレスがカメに云ったこと [ノート]

ヴィトゲンシュタインはキャロルのアキレスとカメについては何も書き遺していないようだ。知ってはいたものの特に云うべきことは無なかった、といったところだろうか。ともあれ、『哲学探究』の頃のヴィトゲンシュタイン流にそれを眺めてみるとどうなるか?
やはり気になるのはカメのこの言葉だ。
And might there not also be some reader who would say 'I accept A and B as true, but I don't accept the Hypothetical'?
ここでユークリッドの第一命題の証明を Heath による英訳から引いておこう。
On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.
Let ΑΒ be the given finite straight line.
Thus it is required to construct an equilateral triangle on the straight line ΑΒ.
With centre Α and distance ΑΒ let the circle ΒΓΔ be described; again, with centre Β and distance ΒΑ let the circle ΑΓΕ be described; and from the point Γ, in which the circles cut one another, to the points Α, Β let the straight lines ΓΑ, ΓΒ be joined.
Now, since the point A is the centre of the circle ΓΔΒ, ΑΓ is equal to ΑΒ.
Again, since the point Β is the centre of the circle ΓΑΕ, ΒΓ is equal to ΒΑ.
But ΓΑ was also proved equal to ΑΒ; therefore each of the straight lines ΓΑ, ΓΒ is equal to ΑΒ.
And things which are equal to the same thing are also equal to one another; therefore ΓΑ is also equal to ΓΒ.
Therefore the three straight lines ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ are equal to one another.
Therefore the triangle ΑΒΓ is equilateral; and it has been constructed on the given finite straight line ΑΒ.
さて、『哲学探究』のヴィトゲンシュタイン流観点からすれば、カメは次のような問を投げかけているものと解釈し得る。
各ステップの妥当性を丁寧に確かめながらこの証明を辿って来た者が、ΓΑΓΒ はそれぞれ ΑΒ に等しく同一のものに等しいものどもは互いに等しいのだから ΓΑΓΒ に等しい、というステップで立往生して、これは妥当ではない、と断言したとしたらどうか?
件の言葉をこう解した我らがアキレスはカメの背に腰を据えたまま黙って考え込んで彫像のように身じろぎもしなくなってしまった。カメはカメでアキレスが口を開くのをじっと待って石のように動かず・・・。
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